课题：第一章  第三节 第一课时

§1.3.1函数的单调性      

一、教学目标

1、知识与技能：

（1）建立增（减）函数的概念

通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函

数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。

   （2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

    2、过程与方法:

（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．

3、情态与价值:

    使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感.

二、教学重难点

1、教学重点：函数的单调性及其几何意义．

2、教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．

三、教学准备

1、学法：从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。

2、教学用具：投影仪、计算机.

四、教学过程：

（一）创设情景，揭示课题

1. 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

   

    

    

    

    

    

   1 随x的增大，y的值有什么变化？

   2 能否看出函数的最大、最小值？

   3 函数图象是否具有某种对称性？

2. 画出下列函数的图象，观察其变化规律：      

   （1）f(x) = x

    1 从左至右图象上升还是下降 ______?

   2 在区间 ____________ 上，随着x的增

   大，f(x)的值随着 ________ ．

    

   （2）f(x) = x2

   1在区间 ____________ 上，

   f(x)的值随着x的增大而 ________ ．

   2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随

   着x的增大而 ________ ．

    

   3、从上面的观察分析，能得出什么结论？

   学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变

   化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。

   （二）研探新知

   1、y = x2的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？

   学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：

   函数y = x2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有x12＜x22 . 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。

   2．增函数

   一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

   如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

   3、从函数图象上可以看到，y= x2的图象在y轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？

   注意：

   1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

   2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

   4．函数的单调性定义

   如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

   （三）质疑答辩，发展思维。

   根据函数图象说明函数的单调性．

   例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

    

   

          解：略

   例2 物理学中的玻意耳定律P=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。

   分析：按题意，只要证明函数P=在区间（0，+∞）上是减函数即可。

   证明：略

   3．判断函数单调性的方法步骤

   利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

   ① 任取x1，x2∈D，且x1

   ②作差f(x2)－f(x1)；

   ③变形（通常是因式分解和配方）；

   ④定号（即判断差f(x2)－f(x1)的正负）；

   ⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

   巩固练习：

   1 课本P38练习第1、2、3题；

   2 证明函数在（1，+∞）上为增函数．

   例3．

   解：（略）

   思考：画出反比例函数的图象．

   1 这个函数的定义域是什么？

   2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．

   （四）归纳小结

   函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

   取 值 →作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

   （五）设置问题，留下悬念

   1、教师提出下列问题让学生思考：

   ①通过增（减）函数概念的形成过程，你学习到了什么？

   ②增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间？

   ③怎样用定义证明函数的单调性？

   师生共同就上述问题进行讨论、交流，发表自己的意见。

   2、书面作业：课本P39习题1、3题（A组）第1,2题。

    

                                                               指导教师:黄文彬

    

                                                                    2020.1.2